BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2007

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j};~\overrightarrow{k}\right)$,

on considère les points A (1 ~;~  3 ~;~ 2), B$(4~;~ 6~;~-4)$ et le cône ($\Gamma$) d'axe $\left(\text{O},~ \overrightarrow{k}\right)$, de sommet O et contenant le point A.
Partie A
 Montrer qu'une équation de ($\Gamma$) est $x^2 + y^2 = \dfrac{5}{2}z^2$.
     Soit (P) le plan parallèle au plan $(x\text{O}y)$ et contenant le point B.
    
          Déterminer une équation de (P).
          Préciser la nature de l'intersection (C$_{1}$) de (P) et de ($\Gamma$).
     
     Soit (Q) le plan d'équation $y =  $3. On note (C$_{2}$) l'intersection de ($\Gamma$) et de (Q).
  Sans justification, reconnaitre la nature de (C$_{2}$) parmi les propositions suivantes :

•     deux droites parallèles ;
•    deux droites sécantes ;
•     une parabole ;
•     une hyperbole ;
•     un cercle.

Partie B
Soient $x,~ y$ et $z$ trois entiers relatifs et $M$ le point de coordonnées $(x,~ y,~ z)$. Les ensembles (C$_{1}$) et (C$_{2}$) sont les sections définies dans la partie A.
On considère l'équation (E): $x^2 + y^2 = 40$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
          Résoudre l'équation (E).
          En déduire l'ensemble des points de (C$_{1}$) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
          Démontrer que si le point $M$ de coordonnées $(x~;~ y~;~ z)$ où $x, ~y$ et $z$ désignent des entiers relatifs est un point de ($\Gamma$) alors $z$ est divisible par 2 et $x^2+ y^2$ est divisible par $10$.
          Montrer que si $M$ est un point de (C$_{2}$), intersection de ($\Gamma$) et de (Q), alors $x^2 \equiv  1~ \text{modulo}~ 10$.
          Résoudre, dans l'ensemble des entiers relatifs, l'équation $x^2 \equiv 1~\text{modulo}~ 10$.
          Déterminer un point de (C$_{2}$), distinct de A, dont les coordonnées sont des entiers relatifs.