BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2007

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

A, B, C, désignent les points d'affixes respectives $a = -2\sqrt{3},~ b = \sqrt{3} - 3\text{i}$  et $c = 2\text{i}$.

Écrire $b$ sous forme exponentielle.
          Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 2.
        
        Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
        
          Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{u}~  ;~ \overrightarrow{\text{AB}}\right)$ et de l'angle $\left(\overrightarrow{u}~  ;~ \overrightarrow{\text{AC}}\right)$.
    
  Les points E et F ont pour affixes respectives $e = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{3}{2}\text{i}$ et $f = - \sqrt{3} - \text{i}$.
    
          Démontrer que les points A, E et C, d'une part, et les points A, F et B, d'autre part, sont alignés,
          Démontrer que le quotient $\dfrac{e - c}{e - b}$ peut s'écrire $k$i où $k$ est un nombre réel à déterminer.
Interpréter géométriquement ce résultat.
 On admet que, de façon analogue, $\dfrac{f - c}{f - b}$ peut s'écrire $k'\text{i}$ où
$k'$ est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de déterminer.
          Placer les points E et F sur la figure.
    
  On désigne par $S$ la similitude indirecte dont l'écriture complexe est \[z \longmapsto \dfrac{1}{2}\overline{z} - \sqrt{3}.\]
Déterminer les images par $S$ des trois points A, B et C.
  Soit H le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point $S$(H) sur la figure.