BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2007

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 2~cm.
Le but de cet exercice est d'étudier la similitude plane indirecte $f$ d'écriture complexe :
\[z'= \text{i}\sqrt{2}\overline{z} + 2\text{i}\sqrt{2} - 2,\]
et d'en donner deux décompositions.

I. Restitution organisée de connaissances
 
On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude plane directe autre qu'une translation est de la forme $z'= az +  b$, où $a$ et $b$ sont des nombres complexes avec $a \neq 1$.

1. Déterminer en fonction de $a$ et de $b$ l'affixe du centre d'une telle similitude plane directe.

II. Première décomposition de  $f$
Soit $g$ la similitude plane directe d'écriture complexe :
\[z'= \text{i}\sqrt{2} z +2\text{i}\sqrt{2} - 2.\]

2.   Préciser les éléments caractéristiques de $g$ (centre, rapport, angle).
3. Déterminer une réflexion $s$ telle que $f = g \circ s$.

 Ill. Deuxième décomposition de $f$

4. Montrer que $f$ admet un unique point invariant noté $\Omega$. Déterminer l'affixe $\omega$ de $\Omega$.

 Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation : $y = x+2$.

5. Montrer que pour tout point $N$ appartenant à $\mathcal{D}$, le point $f(N)$ appartient aussi à $\mathcal{D}$.

 Soit $\sigma$ la réflexion d'axe $\mathcal{D}$ et $k$ la transformation définie par : $k = f \circ \sigma$. 

6. Donner l'écriture complexe de $\sigma$.

(Indication : on pourra poser $z'= a\text{i}+b$ et utiliser deux points invariants par $\sigma$ pour déterminer les nombres complexes $a$ et $b$.)

7. En déduire que l'écriture complexe de $k$ est : $ z'=\sqrt{2}z + 2\sqrt{2} - 2$.
8.  Donner la nature de la transformation $k$ et préciser ses éléments caractéristiques.
9. Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte $f$ comme composée d'une réflexion et d'une homothétie.