BAC S SPECIALITE Asie juin 2007

Le but de cet exercice est d'étudier une même configuration géométrique à l'aide de deux méthodes différentes.

1.   À l'aide des nombres complexes, sur un cas particulier

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.

On considère les points A et B d'affixes respectives 10 et 5i.
    

1. Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et B en O.
2.  Déterminer les éléments caractéristiques de $s$. On note $\Omega$ son centre.
3. Déterminer le point $s \circ s(\text{B})$ ; en déduire la position du point Q par rapport aux sommets du triangle ABO. 

 On note $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x - 2y = 0$, puis A$'$ et B$'$ les points d'affixes respectives 8+4i et 2+i.

4. Démontrer que les points A$'$ et B$'$ sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite $\mathcal{D}$.
5. Vérifier que $s$(B$'$) =A$'$.
6.  En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$.

2.  À l'aide des propriétés géométriques des similitudes

 OAB est un triangle rectangle en O tel que $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
On note encore $s$ est la similitude directè telle que $s$(O) = A et $s$(B) = O. Soit $\Omega$ son centre.

1. Justifier le fait que l'angle de $s$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$.
2.  Démontrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que $\Omega$ appartient aussi au cercle de diamètre [OB].)
3. En déduire que $\Omega$ est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.

 On désigne par $\mathcal{D}$ une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB).
 On note A$'$ et B$'$ les projetés othogonaux respectifs des points A et B sur la droite $\mathcal{D}$.

4. Déterminer les images des droites (BB$'$) et $\mathcal{D}$ par la similitude $s$.
5. Déterminer le point $s$(B$'$).
6. En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [A$'$B$'$]