BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane juin 2007

$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ est un  repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1~cm).

On considère le point $A$ d'affixe $z_{A}=1+\text{i}$.
On note $S_{1}$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$ et $h$ l'homothétie de centre O et de rapport 3.
On pose $s=h\circ S_{1}$.

Partie A

1. Placer le point $A$ et compléter la figure au fur et à mesure.
2. Quelle est la nature de la transformation $s$~? Justifier.
3. Déterminer l'écriture complexe de la transformation $s$.
4. Déterminer l'affixe $z_{B}$ du point $B$ image de $A$ par $s$.
5. Montrer que $z_{B}=-3\text{i}z_{A}$. Déterminer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{O}A},\overrightarrow{\text{O}B}\right)$. 

 Soient $M$ le milieu de $[AB]$ et $P$ l'image de $M$ par $s$. Montrer que la droite $(\text{O}P)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.

Partie B

On pose $C = s(B)$. Montrer que $P$ est le milieu de $[BC]$.

6. Déterminer l'écriture complexe de $s\circ s$ et en déduire sa nature.
7.  Montrer que l'image de la droite $(\text{O}P)$ par $s$ est la droite $(OM)$.
8. Que représente le point $M$ pour le triangle O$BP$? Justifier.