BAC S COMPLEXE Nouvelle-Calédonie, mars 2012

On considère le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par

\[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\]

Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation

$P(z) = 0$.

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$.
En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z) = 0$.

Partie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 2~cm pour unité graphique.

On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i},\quad z_{\text{J}} = \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}.\]

Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à $- \sqrt{2}$.
Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \text{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D.

Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$.
Soit C l'image du point L par la rotation $r$. Déterminer l'affixe du point C.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.