BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2007

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ (unité graphique : $1$~cm).

On fera une figure que l'on complétera tout au long de cet exercice.

 Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = 3 + 5\mathrm{i}$, $b = - 4 + 2 \mathrm{i}$ et $c = 1 + 4 \mathrm{i}$.
Soit $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = (2 - 2\mathrm{i})z + 1$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$.
2. Déterminer l'affixe du point B$'$ image du point B par $f$.
3. Montrer que les droites (CB$'$) et (CA) sont orthogonales.

Soit $M$ le point d'affixe $z = x + \text{i}y$ , où on suppose que $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
Soit $M'$ l' image de $M$ par $f$.

4. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{C}M'}$ et $\overrightarrow{\text{CA}}$ sont orthogonaux si et seulement si $x + 3y = 2$.

 On considère l'équation (E) : $x + 3y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

6. Vérifier que le couple $(- 4~;~2)$ est une solution de (E).
7. Résoudre l'équation (E).
8. En déduire l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l'intervalle $[-5~;~5]$ et tels que les vecteurs $\overrightarrow{\text{C}M'}$ et $\overrightarrow{\text{CA}}$ soient orthogonaux.
9. Placer ces points sur la figure.