BAC S SPECIALITE Liban juin 2007

Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ définie par : $z'= 2\text{i}z+1$.

Proposition 1 : {  Cette transformation est la similitude directe de centre A d'affixe $\dfrac{1}{5}+ \dfrac{2}{5}\text{i}$,  d'angle $\dfrac{\pi}{2}$    et de rapport 2  }.
 Dans l'espace muni du repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j};~\overrightarrow{j}\right)$, on note $S$ la surface d'équation $z = x^2+2x +y^2 + 1$.

Proposition 2 : { La section de $S$ avec le plan d'équation $z = 5$ est un cercle de centre A de coordonnées $(-1~;~ 0~;~ 5)$ et de rayon $5$  }.

Proposition 3 : {  $5^{750} - 1$ est un multiple de 7  }.

Proposition 4 : {  Si un entier naturel $n$ est congru à $1$ modulo $7$ alors le PGCD de $3n + 4$ et de $4n + 3$ est égal à 7  }.

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.

Proposition 5 : {  S'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv  = 2$ alors le PGCD de $a$ et $b$ est égal à 2 }.