BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2007

Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances}

On suppose connus les résultats suivants :

1. La composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;
2. la transformation réciproque d'une similitude plane est une similitude plane ;
3. une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l'identité du plan.

Soient A, B et C trois points non alignés du plan et $s$ et $s'$ deux similitudes du plan telles que
$s(\text{A}) = s'(\text{A}), s(\text{B})= s'(\text{B})$ et $s(\text{C}) = s'(\text{C})$.

Montrer que $s =  s'$.
  Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d'affixe 2, E d'affixe $1 + \text{i}$, F d'affixe $2 + \text{i}$ et G d'affixe $3 + \text{i}$.
    

1. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables.
2. Montrer que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte $S$, en déterminant l'écriture complexe de $S$.

 Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

3. On pose A$' = h(\text{A})$ et G$' = h(\text{G})$, et on appelle I le milieu de [EA$'$]. On note $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe (OI). Montrer que $S = \sigma \circ  h$.