BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2006

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. (unité 1 cm).
On construira une figure que l'on complétera au fur et mesure.

  Soit A le point d'affixe 3, et $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On note B, C,  D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation $r$. Montrer que B a pour affixe $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
  Associer à chacun des points C, D, E et F l'une des affixes de l'ensemble suivant
\[\left\{    - 3 ~;~- \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~- \dfrac{3}{2} -  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\right\}\]

 
    
          Déterminer $r$(F).
          Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?
    
 Soit $s$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle  $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $s'$ la similitude directe de centre E transformant F en C.
    
          Déterminer l'angle et le rapport de $s'$. En déduire l'angle et le rapport de $s' \circ s$.
          Quelle est l'image du point D par $s' \circ s$ ?
          Déterminer l'écriture complexe de $s'$.
    
 Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à C.
    
          Sans utiliser les nombres complexes, déterminer $s(\text{A}')$ puis l'image de A$'$ par $s' \circ s$.
          Calculer l'affixe du point A$'$. Retrouver alors le résultat du {a.} en utilisant l'écriture complexe de $s' \circ s$.