BAC S SPECIALITE Métropole juin 2006
Partie A : Question de cours
- Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
- Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie B
Il s'agit de résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système
\[(S) \quad \left\{ \begin{array}{l c l r}
n& \equiv & 13 \quad &(19)\\
n & \equiv & 6 \quad &(12)\\
\end{array}\right.\]
- Démontrer qu'il existe un couple $(u ~;~ v)$ d'entiers relatifs tel que : $19u + 12v = 1$.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).
- Vérifier que, pour un tel couple, le nombre $N = 13\times 12v + 6\times 19u$ est une solution de ($S$).
Soit $n_{0}$ une solution de ($S$), vérifier que le système ($S$) équivaut à
\[\left\{ \begin{array}{l c l r}
n& \equiv &n_{0}\quad &(19)\\
n & \equiv & n_{0}\quad &(12)\\
\end{array}\right.\]
- Démontrer que le système
\[\left\{ \begin{array}{l c lr}
n& \equiv &n_{0}\quad &(19)\\
n & \equiv & n_{0}\quad &(12)\\
\end{array}\right.\]
équivaut à $n \equiv n_{0}\quad (12 \times 19)$.
- Trouver un couple $(u~;~ v)$ solution de l'équation $19u + 12v = 1$ et calculer la valeur de $N$ correspondante.
- Déterminer l'ensemble des solutions de ($S$) (on pourra utiliser la question 2. b.).
Un entier naturel $n$ est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13.
On divise $n$ par $228 = 12 \times 19$.
- Quel est le reste $r$ de cette division ?
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