BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2006

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Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier $4^n -1$, lorsque $n$ est un entier naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :  \og si p est un nombre entier et $a$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1} -1 \equiv 0 \mod p$ \fg{}.



{Partie A.} Quelques exemples.

  Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ 4^n$ est congru à $1$ modulo $3$.
 Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que $4^{28} - 1$ est divisible par $29$.
 Pour $1 \leqslant  n \leqslant 4$ , déterminer le reste de la division de $4^n$ par $17$. En déduire que, pour tout entier $k$, le nombre $4^{4k} - 1$ est divisible par $17$.
 Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $4^n - 1$ est-il divisible par $5$ ?
 À l'aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de $4^{28} -  1$.
 
 


{Partie B.} Divisibilité par un nombre premier

 Soit $p$ un nombre premier différent de 2.

  Démontrer qu'il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $4^n \equiv 1 \mod p$.
 Soit $n \geqslant 1$ un entier naturel tel que $4^n \equiv1  \mod p$. On note $b$ le plus petit entier strictement positif tel  que $4^b \equiv 1  \mod  p$  et $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $b$.
    
          Démontrer que $4^r \equiv 1 \mod  p$. En déduire que $r = 0$.
         Prouver L'équivalence : $4^n - 1$ est divisible par $p$ si et seulement si $n$ est multiple de $b$.
             En déduire que $b$ divise $p - 1$.