BAC S COMPLEXE Amérique du Sud novembre 2011

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où :

\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

Placer les points A et B dans le repère \Ouv.

Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$ et donner le résultat sous forme algébrique.
En déduire la nature du triangle ABC.

Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon.
Construire les points C et D dans le repère \Ouv. Expliquer la construction proposée.