BAC S SPECIALITE Asie juin 2006

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Étant donné un entier naturel $n \geqslant  2$, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels $x,~y$ et $z$ tels que $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1 ~ \text{modulo}~ 2^n$.



{Partie A : Étude de deux cas particuliers}




  Dans cette question on suppose $n =  2$. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.
 Dans cette question, on suppose $n =  3$.
    
         Soit $m$ un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste $r$ de la division euclidienne de $m$ par 8 et le reste $R$ de la division euclidienne de $m^2$ par $8$.
        
\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$r$ &    0&    1&    2& 3&    4&    5&    6&     7 \\\hline
$R$&    &    &    &    &    &    &    & \\ \hline
\end{tabularx}\]

         Peut-on trouver trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ tels que
$x^2 +y^2 +z^2 \equiv 7 ~ \text{modulo}~ 8$ ?
    




 {Partie B Étude du cas général où} \boldmath  $n \geqslant  3$ \unboldmath
 
Supposons qu'il existe trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ tels que    $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1  ~ \text{modulo}~ 2^n$.


  Justifier le fait que les trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs.
 On suppose que $x$ et $y$ sont pairs et que $z$ est impair. On pose alors $x = 2q,y = 2r,~ z = 2s +1$ où $q,~ r,~ s$ sont des entiers naturels.
    
         Montrer que $x^2 + y^2 +z^2 \equiv  1 ~ \text{modulo}~ 4$.
         En déduire une contradiction.
    
 On suppose que $x,~ y,~ z$ sont impairs.
    
         Prouver que, pour tout entier naturel $k$ non nul, $k^2 + k$ est divisible par $2$.
         En déduire que $x^2 +y^2 + z^2 \equiv 3 ~ \text{modulo}~ 8$.
         Conclure.