BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane juin 2006

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  Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit
 $P$ un point du segment [BC] distinct de B. On note $Q$ l'intersection de (A$P$)
 avec (CD). La perpendiculaire $\delta$ à (A$P$) passant par A coupe (BC) en $R$ et
(CD) en $S$.


 Faire une figure.

 Soit $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
    
    
         Précisez, en justifiant votre réponse, l'image de la droite (BC) par la rotation $r$.
 
         Déterminez les images de $R$ et de $P$ par $r$.

         Quelle est la nature de chacun des triangles A$RQ$ et A$PS$.

    

 On note $N$ le milieu du segment [$PS$] et $M$ celui du segment [$QR$].
Soit $s$ la similitude de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de
rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

    
         Déterminez les images respectives de $R$ et de $P$ par $s$.

         Quel est le lieu géométrique du point $N$ quand $P$ décrit le segment [BC] privé
de B ?

         Démontrez que les points $M$, B, $N$ et D sont alignés.