BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2006

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} (unité graphique : 4~cm).
Soit $\Omega$ le point d'affixe 2.
On appelle $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

 On pose $\sigma = h \circ r$.
    
         Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
         Montrer que l'écriture complexe de $\sigma$ est : $z \longmapsto \dfrac{1 + \text{i}}{2}z + 1 - \text{i}$.
         Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe $z$. On désigne par $M'$ son image par $\sigma$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. Montrer que $z - z' = \text{i}\left(2 - z'\right)$.
    
 
    
         {Question de cours}
$\bullet~$     Prérequis :  définitions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.}



Démontrer que : si $A$ est un point donné d'affixe $a$, alors l'image du point $P$ d'affixe $p$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est le point $Q$ d'affixe $q$ telle que $q - a = \text{i}(p - a)$.
         Déduire des questions précédentes la nature du triangle $\Omega M M'$, pour $M$ distinct de $Q$.
    
 Soit A$_{0}$ le point d'affixe $2 + \text{i}$.
On considère la suite $\left(A_{n}\right)$ de points du plan définis par :
\[ \text{pour tout entier naturel} \quad  n,~ A_{n+1} = \sigma \left(A_{n}\right).\]
    
         Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'affixe $a_{n}$ de $A_{n}$ est donnée par :

\[a_{n}  = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\frac{(n+2)\pi}{4}}+ 2.\]

         Déterminer l'affixe de $A_{5}$.
    
 Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que l'on ait :
pour $n \geqslant  n_{0}$, le point $A_{n}$ est dans le disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,01.