BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2006

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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 5~ cm pour unité graphique.
Soit $f$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :
\[ z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z+1.\]


  Justifier que $f$ est une similitude directe dont on précisera le centre $\Omega$ (d'affixe $\omega$), le rapport $k$ et l'angle $\theta$.
 On note $A_{0}$ le point O et, pour tout entier naturel $n$, on pose $A_{n+1} = f(A_{n})$.
    
         Déterminer les affixes des points $A_{1}~A_{2},~A_{3}$ puis placer les points $A_{0},~A_{1},~A_{2}$ et $A_{3}$.
         Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = \Omega A_{n}$. Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel $n,$
\[ u_{n} = \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\]
         À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre $\Omega$ et de rayon $0,1$ ?
    
 
    
         Quelle est  la nature du triangle $\Omega A_{0}A_{1}$ ?
En déduire, pour tout entier naturel $n$, la nature du triangle $\Omega A_{n}A_{n+1}$.
         Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée
$A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$.
On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots +  A_{n-1}A_{n}$.
Exprimer $\ell_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ?