BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2005

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\vspace{0,5cm}

Le plan est rapporté au repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Unité graphique :
{4~cm}



{Partie I}




 Placer les points I, J, H, A, B, C, D d'affixes respectives :
\[
z_{\text{I}}=1\ ,\ z_{\text{J}}= \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{H = 1 + \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{A}}=2\ ,\ z_{\text{B =
\dfrac{3}{2} +  \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{C = 2\mathrm{i} \ \mathrm{ et } \ z_{\text{D = -1
\]
 Soit E le symétrique de B par rapport à
  H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la
  parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.

Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}}= -1
+ \dfrac{1}{2} \mathrm{i}$.
 Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.




{Partie II}



On considère la transformation $f$ du plan, d'écriture complexe: $z' =
- \mathrm{i} \, \overline{z} + 2  \mathrm{i}$.


 Déterminer les images des points O, A, B par $f$.
 
    
           Montrer que $f$ est une similitude. Est-ce une isométrie ?
           Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$.
          La transformation $f$ est-elle une symétrie axiale ?
      
 Soit $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{IJ}}$. Donner
  l'écriture complexe de $t$ et celle de sa réciproque $t^{-1}$.
 On pose $s=f \circ t^{-1}$.
    
         Montrer que l'écriture complexe de $s$ est: $z'= - \mathrm{i} \,
  \overline{z} + 1 +  \mathrm{i}$.
         Montrer que I et J sont invariants par $s$. En déduire la
  nature de $s$.
         En déduire que $f$ est la composée d'une translation et d'une
  symétrie axiale à préciser.