BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2005

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Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.}
 Chaque réponse exacte rapporte} 1 point. Chaque réponse fausse enlève} 0,5 point. Une absence de réponse est comptée} 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n'est demandée.}


 On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation : $x^2 - x + 4 \equiv  0\quad  (\text{modulo}~ 6)$.

A : toutes les solutions sont des entiers pairs.

B : il n'y a aucune solution.
 
C : les solutions vérifient $x \equiv  2 \quad  (\text{modulo}~ 6)$.
 
D : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad  (\text{modulo}~ 6)$  ou $x \equiv 5 \quad  (\text{modulo}~ 6)$.

 On se propose de résoudre l'équation (E) : $24x + 34y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
 
A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~; y) = (34k - 7 ~;~ 5 - 24k),~ k \in \Z$.
 
B : L'équation (E) n'a aucune solution.
 
C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~ y) =  (17k - 7~;~ 5 - 12k),~ k \in \Z$.
 
D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~ y) = (- 7k~;~ 5k),~ k \in \Z$.
 On considère les deux nombres $n = \np{1789}$ et $p = \np{1789}^{\np{2005}}$. On a alors :
 
  A : $ n \equiv 4\quad  (\text{modulo}~ 17)$ et $p \equiv 0\quad  (\text{modulo}~ 17)$.
 
  B : $p$ est un nombre premier.
 
  C : $p \equiv 4\quad  (\text{modulo}~17)$.
 
  D : $ p \equiv 1\quad  (\text{modulo}~17)$.
 
 On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$. Le triangle $M$AB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse [AB] si et seulement si le point $M$ d'affixe $z$ est tel que :

\begin{tabular}{l l}
A :    $z = \dfrac{b - \text{i}a}{1 - \text{i}}$.&\hspace{1,5cm}    C :  $a - z =\text{i}(b - z)$.\\
B : $ z - a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(b - a)$.&\hspace{1,5cm} D : $b - z = \dfrac{\pi}{2}(a - z)$.\\
  \end{tabular}
 On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit $f$ la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ ; soit $g$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ; soit $h$ la symétrie centrale de centre 1.

A : $h \circ g \circ f$ transforme A en B et c'est une rotation.
 
B : $h \circ g \circ f$ est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].

C : $h \circ g \circ f$ n'est pas une similitude.

D : $h \circ g \circ f$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.