BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2005

La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l'exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.

 Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC  tel que AB = 2, AC= $1 + \sqrt{5}$ et $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.

1. Démonstration de cours : démontrer qu'il existe une seule similitude directe $S$ transformant B en A et A en C.
2.  Déterminer le rapport et une mesure de l'angle de $S$.

On appelle $\Omega$ le centre de $S$. Montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point $\Omega$.
On note D l'image du point C par la similitude $S$.

3. Démontrer l'alignement des points A, $\Omega$ et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.
4.  Montrer que CD $=  3+ \sqrt{5}$.

 Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).

5. Expliquer la construction de l'image F du point E par $S$ et placer F sur la figure.
6. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?

Vous la figure prochainement

\begin{center}

{Annexe : exercice de spécialité}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(7,5)
\pspolygon[linewidth=2pt](0,0)(2,0)(0,3.236)
\uput[dr](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} \uput[ur](0,3.236){C}

\end{pspicture} \end{center}