BAC S Antilles--Guyane juin 2005

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         Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul $n$ le reste dans la division euclidienne par $9$ de $7^n$.
         Démontrer alors que $(\np{2005})^{\np{2005}}\equiv 7~(9)$.
    
 
    
         Démontrer que pour tout entier naturel non nul \[n~ :~ (10)^n\equiv 1~(9).\]
         On désigne par $N$ un entier naturel écrit en base dix, on appelle $S$ la somme de ses chiffres.
Démontrer la relation suivante : $N\equiv S~(9)$.
         En déduire que $N$ est divisible par $9$ si et seulement si $S$ est divisible par $9$.
    
 On suppose que $A=(\np{2005})^{\np{2005}}$ ; on désigne par :

\begin{itemize}
 $B$ la somme des chiffres de $A$ ;
 $C$ la somme des chiffres de $B$ ;
 $D$ la somme des chiffres de $C$.
\end{itemize}

    
         Démontrer la relation suivante : $A\equiv D~(9)$.
         Sachant que $\np{2 005} < \np{10000}$, démontrer que $A$ s'écrit en numération décimale avec au plus $8\,020$ chiffres. En déduire que $B\leqslant \np{72180}$.
         Démontrer que $C\leqslant 45$.
         En étudiant la liste des entiers inférieurs à $45$, déterminer un majorant de $D$ plus petit que $15$.
         Démontrer que $D = 7$.