BAC S SPECIALITE Asie juin 2005

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Le but de cet exercice est d'étudier les similitudes directes qui transforment l'ensemble $S_{1}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{1}$ donné  en l'ensemble $S_{2}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{2}$ donné.

 Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct $\mathcal{R} = $ $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, unité graphique 2 cm.

 On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d'affixes respectives
 \[- \dfrac{\text{i}}{2},~1 - \dfrac{\text{i}}{2},~1 + \dfrac{\text{i}}{2},~ \dfrac{\text{i}}{2},~1 - \text{i},~3 - \text{i},~3 + \text{i},~1 + \text{i}.\]            

 $\mathcal{C}_{1}$ est le carré de sommets A, B,  C, D et de centre O$_{1}$,~$\mathcal{C}_{2}$ est le carré de sommet E, F G, H de centre O$_{2}$.
$S_{1}$ est donc l'ensemble \{A, B, C, D\} et $S_{2}$ l'ensemble \{E,  F, G, H\}.


 Placer tous les points dans le repère $\mathcal{R}$, construire les carrés $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$.

 Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $- 1$ et de rapport 2. Donner l'écriture complexe de $h$ et prouver que $h$ transforme $S_{1}$ en $S_{2}$.

 Soit $s$ une similitude directe qui transforme $S_{1}$ en $S_{2}$ et soit $g$ la transformation ~$g = h^{-1} \circ  s$.

    
         Quel est le rapport de la similitude $s$ ?

         Prouver que $g$ est une isométrie qui laisse $S_{1}$ globalement invariant.

         Démontrer que $g(\text{O}_{1}) = \text{O}_{1}$.

         En déduire que $g$ est l'une des transformations suivantes : l'identité, la rotation $r_{1}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, la rotation $r_{2}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $\pi$, la rotation $r_{3}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.

         En déduire les quatre similitudes directes qui transforment $S_{1}$ en $S_{2}$.

    

 \' Etude des centres de ces similitudes.

Déterminer les écritures complexes de $h \circ r_{1},~  h \circ r_{2},~ h \circ  r_{3}$.

 En déduire les centres $\Omega_{1},~\Omega_{2},~\Omega_{3}$  de ces similitudes et les placer sur le dessin.