BAC S COMPLEXE Polynésie septembre 2011

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On prendra 1~cm pour unité graphique.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$.
Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\]

Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice.
Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon.
Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$. En déduire la nature du triangle DAC.
{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

On note $h$ l'homothétie de centre D et de rapport 2. On note $r$ la rotation de centre D et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On appelle C$'$ l'image de C par $h$ et C$''$ l'image de C$'$ par $r$.

Montrer que les droites (AC) et (C$'$C$''$) sont perpendiculaires.