BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2005

Partie A

Soit $N$ un entier naturel, impair non premier.
On suppose que $N =  a^2 - b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.
Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la même parité.
Montrer que $N$ peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$.
Quelle est la parité de $p$ et de $q$ ?

Partie B

On admet que \np{250507} n'est pas premier.

 On se propose de chercher des couples d'entiers naturels $(a~;~ b)$ vérifiant la relation

\[(\text{E})~ :\quad  a^2 - \np{250507} =  b^2.\]

Soit $X$ un entier naturel.

Donner dans un tableau, les restes possibles de $X$ modulo 9 ; puis ceux de $X^2$ modulo 9.

         Sachant que $a^2 - \np{250507} = b^2$,    déterminer les restes possibles modulo 9 de
$a^2 - \np{250507}$ ; en déduire les restes possibles module 9 de $a^2$.

Montrer que les restes possibles modulo 9 de $a$ sont 1 et 8.

Justifier que si le couple $(a~;~b)$ vérifie la relation (E), alors $a \geqslant 501$. Montrer qu'il  n'existe pas de solution du type $(501~;~b)$.

On suppose que le couple $(a~;~b)$ vérifie la relation (E).
Démontrer que $a$ est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que le couple $(505+9k~;~b)$ soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.

Partie C

 Déduire des parties précédentes une écriture de \np{250507} en un produit deux facteurs.
 Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ?
 Cette écriture est-elle unique ?