BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2005

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On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 14\\
u_{n+1}& =& 5 u_{n} - 6~~\text{pour tout entier naturel}~ n\\
\end{array}\right.\]

 Calculer $u_{1},~ u_{2},~ u_{3}$ et $u_{4}$.

Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_{n}$ ?

 Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+2}\equiv  u_{n}\quad  (\text{modulo}~ 4)$.

En déduire que pour tout entier naturel $k,~ u_{2k}\equiv  2 \quad  (\text{modulo}~ 4)$ et$u_{2k+1}\equiv 0  \quad  (\text{modulo}~ 4)$.

    
         Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,2u_{n} = 5^{n+2}     + 3$.

         En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ 2 u_{n} \equiv  28\quad  (\text{modulo}~100)$.

 Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_{n}$ suivant les valeurs de $n$.

 Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite $\left(u_{n}\right)$ est constant. Préciser sa valeur.