BAC S SPECIALITE Pondichéry juin 2005

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Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On considère l'application $f$ qui au point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' = \dfrac{3+4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{1 - 2\text{i}}{5}.\]


 On note $x$ et $x',~ y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$.


Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l}
x' &= & \dfrac{3x+4y+1}{5}\\
y' & = & \dfrac{4x - 3y - 2}{5}\\
\end{array}\right.$

 
    
         Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$.

         Quelle est la nature de l'application $f$ ?

    

 Déterminer l'ensemble D des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit réel.

 On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.

    
          Donner une solution particulière $(x_{0} ,~y_{0})$ appartenant a $\Z^2$ de l'équation $4x - 3y = 2$.

         Determiner l'ensemble des solutions appartenant à $\Z^2$ de l'équation $4x -3y = 2$.

    

 On considère les points $M$ d'affixe $z =  x+ \text{i}y$ tels que $x = 1$ et $y \in \Z$. Le point $M' = f(M)$ a pour affixe $z'$.

Déterminer les entiers $y$ tels que Re($z'$) et lm($z'$) soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).