BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2004

Dans cet exercice,  $a$  et  $b$  désignent des entiers strictement positifs.

    
    
             Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs  $u$  et  $v$  tels que  $a u + b v = 1$ alors les nombres  $a$  et  $b$  sont premiers entre eux.

          En déduire que si  $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$, alors  $a$  et  $b$  sont premiers entre eux.

 On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs  $(a~;~b)$  tels que $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$. Un tel couple sera appelé solution.

    
         Déterminer  $a$  lorsque  $a = b$.

          Vérifier que  (1 ; 1), (2 ; 3)  et  (5 ; 8) sont trois solutions particulières.

         Montrer que si  $(a~;~b)$  est solution et si  $a < b$ , alors  $a^2 - b^2 < 0$.
 
    

 
    
            Montrer que si  $(x~;~y)$  est une solution différente de  (1 ; 1) alors $(y - x~;~x)$  et  $(y~;~y + x)$  sont aussi des solutions.

          Déduire de  2. b.  trois nouvelles solutions.

 On considère la suite de nombres entiers strictement positifs $\left(a_{n}\right)_{n}$   définie par $a_{0} = a_{1} = 1$ et pour tout entier  $n,~ n \geqslant 0,~ a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ .

Démontrer que pour tout entier  $n \geqslant 0,~ \left(a_{n}~ ;~ a_{n +1}\right)$  est solution.

En déduire que les nombres  $a_{n}$  et  $a_{n+1}$  sont premiers entre eux.