BAC S SPECIALITE Amérique du Sud novembre 2004

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Soit A$_0$ et B$_0$ deux points du plan orienté tels que A$_0$B$_0$ = 8. On prendra le centimètre pour unité.

Soit S la similitude de centre A$_0$, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$.

On définit une suite de points $(B_n)$ de la fa{\oe}on suivante :

\begin{center} pour tout entier naturel $n,~ B_{n+1} = \text{S}(B_n)$. \end{center}

     Construire B$_1$,~ B$_2$,~B$_3$ et B$_4$.
     Montrer que, pour tout entier naturel $n$, les triangles A$_0B_{n}B_{n+1}$ et A$_0B_{n+1}B_{n+2}$ sont semblables.
     On définit la suite $(\ell_n)$ par : pour tout entier naturel $n,~ \ell_n = B_nB_{n+1}$.
        
             Montrer que la suite $(\ell_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
             Exprimer $\ell_n$ en fonction de $n$ et de $\ell_0$.
             On pose $\Sigma_n = \ell_0 + \ell_1 + \cdots + \ell_n$.
            
Déterminer la limite de $\Sigma_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
        

 
    
         Résoudre l'équation $3x - 4y = 2$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs.

         Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire en A$_0$ à la droite (A$_0$B$_0$).
        
Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n,~ B_n$ appartient-il à $\Delta$ ?