BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2004

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\textsl{L'exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.}

A et C sont deux points distincts du plan ; on note $\Gamma$ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de $\Gamma$ ; $B$ est un point du cercle $\Gamma$ distinct des points A et C.

Le point $D$ est construit tel que le triangle $B$C$D$ soit équilatéral
direct ; on a donc $\left(\vect{B\text{C}},~\vect{BD}\right) = + \dfrac{\pi}{3} \quad  [2\pi]$.

Le point $G$ est le centre de gravité du triangle $B$C$D$.

Les droites (A$B$) et (C$G$) se coupent en un point $M$.

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{Partie A}




 Placer les points $D,~ G$ et $M$ sur la figure de la
    feuille annexe.

 Montrer que les points O, $D$ et $G$ appartiennent à la médiatrice
du segment [BC] et que le point $G$ est le milieu du segment [C$M$].

 Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe $s$ de
centre C transformant $B$ en $M$.





{Partie B}



Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormé
direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives $- 1$ et 1.

Soit $E$ le point construit pour que le triangle AC$E$ soit
équilatéral direct ; on a donc
$\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{A}E}\right) = +
\dfrac{\pi}{3} \quad  [2\pi]$.


 Calculer l'affixe du point $E$ et construire le point $E$
    sur la feuille annexe.

 Soit $\sigma$    la similitude directe d'expression complexe $z' =
\dfrac{3 + \text{i}\sqrt{3}}{4}z + \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{4}$.

Déterminer les éléments caractéristiques de $\sigma$ et en déduire que $\sigma$ est la similitude réciproque de $s$.

 Montrer que l'image $E'$ du point $E$ par $\sigma$ a pour
affixe $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et
montrer que le point $E'$ appartient au cercle $\Gamma$.

 On note $\mathcal{C}$ le lieu des points $M$ lorsque le point
$B$ décrit le cercle $\Gamma$ privé des points A et C.

Montrer que le point $E$ appartient à $\mathcal{C}$.

Soit O$'$ l'image du point O par la similitude $s$. Démontrer que le
point O$'$ est le centre de gravité du triangle AC$E$.

En déduire une construction de $\mathcal{C}$.