BAC S SPECIALITE Amérique du Nord mai 2004

\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_mai2004_retour}{Retour au tableau}

\vspace{0,5cm}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

 Soient les points A, A$'$, B et B$'$ d'affixes respectives :

\[z_{\text{A = 1 - 2\text{i},~ z_{\text{A}'} =-2 +
4\text{i},~z_{\text{B =3 - \text{i},~z_{\text{B}'} = 5\text{i}.\]


 
    
         Placer les points A, A$'$, B et B$'$ dans le plan complexe. Monter que ABB$'$A$'$
est un rectangle.

         Soit $s$ la réflexion telle que $s$(A)=A$'$ et $s$(B)=B$'$. On note
($\Delta$) son axe.

Donner une équation de la droite ($\Delta$) et la tracer dans le plan complexe.

         On note $z'$ l'affixe du point $M'$ image par $s$ du point $M$
d'affixe $z$.

Montrer que

\[z'= \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}\text{i}\right)\overline{z} +
2\text{i}-1.\]

    

 Soit $g$ l'application du plan dans lui même qui à tout point $M$
d'affixe $z$ associe le point $P$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)\overline{z} + 5 - \text{i}.\]

    
         On note $C$ et $D$ les images respectives de A et B par $g$ ; déterminer les
affixes de $C$ et $D$ et placer ces points dans le plan complexe.

         Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 + \text{i}$ et soit $h$ l'homothétie
de centre $\Omega$ et de rapport $- 2$.

Montrer que $C$ et $D$ sont les images respectives de A$'$ et B$'$
par $h$.

         Soit $M_{1}$ d'affixe $z_{1}$ l'image par $h$ de $M$, d'affixe $z$. Donner les éléments caractéristiques de $h^{-1}$ et exprimer $z$ en fonction de $z_{1}$.

    

 On pose $f = h ^{-1} \circ g$.

    
         Déterminer l'expression complexe de $f$.

         Reconnaître $f$. En déduire une construction du point $P$, image par $g$ d'un point
 $M$ quelconque donné du plan.