BAC S SPECIALITE Asie juin 2004

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On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous
la forme $9 + a^2$ où $a$ est un entier naturel non nul ; par exemple $10 = 9 +
1^2~;~13 = 9 + 2^2$ etc.

On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E)
qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.


 Étude de l'équation d'inconnue $a \quad :\quad a^2 + 9 = 2^n$ où $a  \in \N,n \in \N,~n \geqslant 4$.

    
         Montrer que si $a$ existe, $a$ est impair.

         En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

    

 Étude de l'équation d'inconnue $a\quad :\quad a^2+9 = 3^n$ où $a \in
\N,~n \in \N,n \geqslant 3$.

    
         Montrer que si $n \geqslant 3,~ 3^n$ est congru à 1 ou à 3
modulo 4.

         Montrer que si $a$ existe, il est pair et en déduire
 que nécessairement $n$ est pair.

         On pose $n = 2p$ où $p$ est un entier naturel, $p \geqslant 2$. Déduire d'une
factorisation de $3^n - a^2$, que l'équation proposée n'a pas de solution.

    

 Étude de l'équation d'inconnue $a\quad :\quad  a^2 + 9 = 5^n$ où $a \in
\N ,~n \in \N, n \geqslant 2$.

    
         En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation n'a pas de
solution si $n$ est impair.

         On pose $n = 2p$, en s'inspirant de {2 c} démontrer qu'il existe un unique entier naturel $a$ tel que $a^2 + 9$ soit une
puissance entière de 5.