BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2004

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On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant :

\og Les  nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seul
chiffre $1$ peuvent-ils être premiers} ? \fg{}

Pour  tout entier naturel $p \geqslant 2$, on pose $N_{p} = 1 \ldots
1$ où 1 apparaît $p$ fois.

On rappelle dès lors que
 $N_{p} = 10^{p-1} + 10^{p-2} + \cdots + 10^0$.


 Les nombres $N_{2} = 11,~ N_{3} = 111,~N_{4} = 1111$ sont-ils
premiers ?

 Prouver que $N_{p} = \dfrac{10^p -1}{9}$. Peut-on être certain
que $10^p - 1$ est divisible par 9 ?

 On se propose de démontrer que si $p$ n'est pas premier, alors
$N_{p}$ n'est pas premier.

 On rappelle que pour tout nombre réel $x$ et tout entier naturel $n$
non nul,

\[x^n - 1 = (x - 1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right).\]

    
         On suppose que $p$ est pair et on pose $p = 2q$, où $q$ est un
entier naturel plus grand que 1.

Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{2} = 11$.

         On suppose que $p$ est multiple de 3 et on pose $p = 3q$, où $q$
est un entier naturel plus grand que 1.

Montrer que $N_{p}$ est divisible par $N_{3} = 111$.

         On suppose $p$ non premier et on pose $p = kq$ où $k$ et $q$ sont
des entiers naturels plus grands que 1.

En déduire que $N_{p}$ est divisible par $N_{k}$.

    

 Énoncer une condition nécessaire   pour que $N_{p}$ soit premier.

 Cette condition est-elle suffisante ?