BAC S SPECIALITE Liban juin 2004

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Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 1~cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives

\[z_{\text{A = 2 + \text{i},\quad z_{\text{B
= 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{C  = 6+3\text{i},\quad z_{\text{D  = - 1 +
6\text{i}.\]


 Représenter les points A, B, C et D.

 Montrer qu'il existe une similitude directe $f$ telle que $f$(A) = B et
$f$(C) = D.
 
 Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments caractéristiques.

 Soit J le point d'affixe $3+5\text{i}$.

 Montrer que la rotation $R$ de centre J et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ transforme A en D
 et C en B.

 On appelle I le point d'affixe $1+\text{i}$,~M et N les milieux respectifs
de segments [AC] et [BD].

 Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du
quadrilatère IMJN.

 On considère les points $P$ et $Q$ tels que les quadrilatères IA$P$B et IC$Q$D sont des carrés directs.

    
         Calculer les affixes $z_P$ et $z_Q$ des points $P$ et $Q$.

         Déterminer $\dfrac{\text{I}P}{\text{IA}}$ et $\dfrac{\text{I}Q}{\text{IC}}$ ainsi qu'une mesure des angles $\left(\vect{\text{IA}},~\vect{\text{I}P}\right)$ et $\left(\vect{\text{IC}},~\vect{\text{I}Q}
\right)$.

En déduire    les éléments caractéristiques de la similitude directe
 $g$ telle que $g$(A) = $P$ et $g$(C)= $Q$.

         En déduire que J est l'image de $M$ par $g$. Que peut-on en déduire pour J ?