BAS S SPECIALITE Polynésie juin 2004

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Le plan P est rapporté a un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra pour unité graphique 3~cm.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a, b, c et d telles que

\[\text{a} = 3 \qquad  \text{b} = 1 + \dfrac{2}{3}\text{i} \qquad
\text{c} = 3\text{i} \quad \text{et} \quad   \text{d} =
-\dfrac{1}{3}\text{i}.\]


 Représenter les points A, B, C et D.

 Déterminer l'angle $\theta$ et le rapport $k$ de la similitude
directe $s$ transformant A en B et C en D.

 Donner l'écriture complexe de $s$. En déduire l'affixe du centre I
de $s$.

 Soit $M$ le point de coordonnées $(x~;~ y)$ et $M'(x'~;~ y')$ son image
par $s$.

Montrer que : $\left\{\begin{array}{l c l}
x' & = &-\dfrac{1}{3}y + 1\\
y' & = & \dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3}\\
\end{array} \right.$

 On construit une suite $\left(M_{n}\right)$ de points du plan en posant

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\text{M}_{0}& =&\text{A}\\
\multicolumn{3}{l}{\text{et, pour tout entier naturel } n}\\
M_{n+1} &= & s(M_{n})\\
\end{array} \right.\]

Pour tout entier naturel, on note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$ et on
pose $r_{n} = \left|z_{n} -1\right|$.

    
         Montrer que $\left(r_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison.

         Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que I$M_{k}
\leqslant  10^{-3}$.