BAC S SPECIALITE Pondichery avril 2004

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L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10).


 Dans cette question, on se place dans le plan P$_0$ d'équation $x = 0$
rapporté au repère \Oij.

On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre B passant par A.

Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.

 On nomme $\mathcal{S}$ la sphère engendrée par la rotation du cercle
 $\mathcal{C}$ autour de l'axe (O$z$) et $\Gamma$ le cône engendré par la
rotation de la droite (OA) autour de l'axe (O$z$).

    
         Démontrer que le cône $\Gamma$ admet pour équation
 $x^2 + y^2 = z^2$.

         Déterminer l'intersection du cône $\Gamma$ et de la sphère $\mathcal{S}$.

Préciser la nature de cette intersection et ses éléments
caractéristiques.

         Illustrer ces objets par un schéma dans l'espace.

    

 On coupe le cône $\Gamma$ par le plan P$_1$ d'équation $x = 1$.

 Dans P$_1$, l'une des trois figures ci-dessous représente cette intersection.

 Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.

 Soit $M(x,~y,~z)$ un point du cône $\Gamma$ dont les coordonnées sont des
entiers relatifs non nuls. Démontrer que $x$ et $y$ ne peuvent pas être
simultanément impairs.



\begin{center}
\begin{tabular}{c c c}
\begin{pspicture}(4,4)
\pscircle(2,1.5){1}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(4,3)
\psline(0.5,0)(3.5,3) \psline(0.5,3)(3.5,0)
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(4,3)
\pscurve(0.2,0)(0.5,0.25)(1,0.8)(1.5,1.25)(2,1.5)(2.5,1.25)(3,0.8)(3.5,0.25)(3.8,0)
\pscurve(0.2,3.7)(0.5,3.45)(1,2.9)(1.5,2.45)(2,2.2)(2.5,2.45)(3,2.9)(3.5,3.45)(3.8,3.7)
\end{pspicture}\\
Figure 1 & Figure 2 & Figure 3\\
\end{tabular} \end{center}