BAC S COMPLEXE Métropole septembre 2011

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par A le point d'affixe i et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}.\]

Calculer l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe $2 - \text{i}$ par l'application $f$.
Placer les points B et B$'$ sur une figure que l'on fera sur la copie.
Démontrer que l'application $f$ n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image.
Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,\:\: \overline{z - \text{i}} = \overline{z} + \text{i}$.
Démontrer que $\text{O}M' = 1$ et interpréter géométriquement ce résultat.
Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A,

\[\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{O}M'}\right) = 2 \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{A}M}\right) + 2k\pi \:\: \text{où}\: k\: \text{est un entier relatif.}\]

En déduire une méthode de construction de l'image $M'$ d'un point quelconque $M $ distinct de A.

Soit $(d)$ la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur $\overrightarrow{w}$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

Dessiner la droite $(d)$.
Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point A.