BAC S SPECIALITE Amérique du Sud novembre 2003

\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2003_retour}{Retour au tableau}

\vspace{0,5cm}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Oij~ (unité graphique : 1~cm).

On note $r_1$ la rotation de centre O et d'angle
$\dfrac{\pi}{3}$ et $r_2$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{5}$.

{Partie A}




    Résoudre dans $\Z \times \Z$ l'équation ( E) :    $3y =
5(15 - x)$.

 Soit I le point d'affixe 1.

On considère un point $A$ mobile sur le cercle trigonométrique
$\mathcal{C}$ de centre O.

Sa position initiale est en I.

On appelle $d$ la distance, exprimée en centimètres, qu'a parcourue le point
$A$ sur le cercle $\mathcal{C}$ après avoir subi $p$ rotations $r_1$ et $q$
 rotations $r_2$ \quad ($p$ et $q$ étant des entiers naturels).

On convient que lorsque $A$ subit la rotation $r_1$ (respectivement $r_2$),
 il parcourt une distance de  $\dfrac{\pi}{3}$cm (respectivement
 $\dfrac{\pi}{5}$ cm).

Déterminer toutes les valeurs possibles de $p$ et $q$ pour lesquelles le
 point $A$ a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle $\mathcal{C}$
 à partir de I.
 

 
\vspace{0,5cm}

{Partie B}



On note $h_1$ l'homothétie de centre O et de rapport 4 et $h_2$ l'homothétie de centre
O et de rapport $-6$. On pose $s_1 = r_1 \circ h_1$ et $s_2 =r_2 \circ h_2$.


    Préciser la nature et les éléments caractéristiques
de $s_1$ et $s_2$.

 On pose :

$S_m = s_1  \circ s_1 \cdots \circ s_1$ (composée de $m$ fois $s_1$,~ $m$ étant un entier naturel non nul),

$S'_n = s_2  \circ s_2 \cdots \circ s_2$ (composée de $n$ fois $s_2$,~
$n$ étant un entier naturel non nul),
et $f = S'_n s_1  \circ  S_m$.

    
         Justifier que $f$ est la similitude directe de centre O, de rapport
 $2^{2m+n}~\times~ 3^n$ et d'angle $m\dfrac{\pi}{3} + n\dfrac{6\pi}{5}$.

         $f$ peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?

         On appelle M le point d'affixe 6 et M$'$ son image par $f$.

Peut-on avoir OM$' =  240$ ?

Démontrer qu'il existe un couple d'entiers naturels unique $(m,~n)$ tel que  OM$' = 576$.

Calculer alors la mesure principale de l'angle orienté
$\left(\vect{u},~ \overrightarrow{\text{OM}'}\right)$.