BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2003

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         Soit $p$ un entier naturel. Montrer que l'un des  trois nombres $p,{}p + 10$ et $p + 20$, et l'un seulement est divisible par  3.

         Les entiers naturels $a,~ b$ et $c$ sont dans  cet ordre les trois premiers terme d'une  suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sachant qu'ils sont premiers.

    

 Soit E l'ensemble  des triplets d'entiers relatifs
$(u,~v,~w)$ tels que

\[3u + 13v + 23w = 0.\]

    
         Montrer que pour un tel triplet $v \equiv w
 ~~(\text{mod} \quad 3)$

         On pose $v = 3k + r$ et $w = 3k' + r$ où $k,~k'$ et $r$ sont  des entiers relatifs et $0 \leqslant r \leqslant 2$.

Montrer que les éléments de E sont de la forme :

\[(-13k - 23k' - 12r,~3k + r,~3k' + r).\]

         l'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine O et
 soit P le plan d'équation $3x + 13y + 23z = 0$.

Déterminer l'ensemble des points $M$ à coordonnées $(x,~y,~z)$ entières relatives appartenant au plan P et situés à l'intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.