BAC S SPECIALITE Antilles septembre 2003

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Soit l'équation (1) d'inconnue rationnelle $x$ :

\[ 78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0.\]

où $u$ et $v$ sont des entiers relatifs.


 On suppose dans cette question que $\dfrac{14}{39}$ est solution de
l'équation (1).

    
         Prouver que les entiers relatifs $u$ et $v$ sont liés par la relation $14u + 39v = \np{1129}.$

         Utiliser l'algorithme d'Euclide, en détaillant les diverses étapes du calcul,
pour trouver un couple $(x~;~y)$ d'entiers relatifs vérifiant l'équation
$14x + 39y = 1$.

Vérifier que le couple $(- 25~;~9)$ est solution de cette équation.

         En déduire un couple $\left(u_{0}~;~v_{0}\right)$ solution particulière de l'équation $14u + 39v = \np{1129}$.

Donner la solution générale de cette équation c'est-à-dire l'ensemble des
couples $(u~;~v)$ d'entiers relatifs qui la vérifient.

         Déterminer, parmi les couples $(u~;~v)$ précédents, celui pour lequel le nombre $u$ est l'entier naturel le plus petit possible.

    

 
    
         Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.

En déduire, dans $\N$, l'ensemble des diviseurs de 78 et l'ensemble des diviseurs de 14.

         Soit $\dfrac{P}{Q}$ une solution rationnelle de l'équation (1) d'inconnue  $x$ :

\[78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0 \quad \text{où} \quad  u \quad\text{et}\quad v\quad \text{sont des entiers relatifs.}\]

Montrer que si $P$ et $Q$ sont des entiers relatifs premiers entre
eux, alors $P$ divise 14 et $Q$ divise 78.

         En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant
être solutions de l'équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble
de ceux qui sont positifs.