BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2003

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On rappelle que \np{2003} est un nombre premier.


 
    
         Déterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :

\[123 u + \np{2003} v = 1.\]

         En déduire un entier relatif $k_0$ tel que :

\[123k_0 \equiv 1\ \  [\np{2003}].\]

         Montrer que, pour tout entier relatif $x$,

    \[123 x \equiv 456\ \  [\np{2003}] \text{si et seulement si}~ x \equiv 456 k_0\ \  
    [\np{2003}].\]

         Déterminer l'ensemble des entiers relatifs $x$ tels que :
        
\[123x \equiv 456\ \  [\np{2003}].\]

         Montrer qu'il existe un unique entier $n$ tel que :

\[1 \leqslant n \leqslant \np{2002}\ \  \text{et}\ \  123n \equiv 456\ \
 [\np{2003}].\]
 
    

 Soit $a$ un entier tel que : $1 \leqslant  a \leqslant
\np{2002}$.

    
         Déterminer :

    \[ \text{PGCD}(a,~\np{2003}).\]

En déduire qu'il existe un entier $m$ tel que :

\[am \equiv 1\ \  [\np{2003}].\]

         Montrer que, pour tout entier $b$, il existe un unique entier
$x$ tel que :

\[ 0 \leqslant x \leqslant \np{2002}\ \ \text{et}\ \ ax \equiv b\ \ [\np{2003}].\]