BAC S SPECIALITE Polynésie septembre 2003

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On désigne par $p$ un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.

Le but de l'exercice est de démontrer que l'entier naturel $n = p^4 - 1$ est divisible par 240, puis d'appliquer ce résultat.


 Montrer que $p$ est congru à $- 1$ ou à $1$ modulo 3. En déduire que $n$ est divisible par 3.

 En remarquant que $p$ est impair, prouver qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $p^2 - 1 = 4k(k + 1)$, puis que $n$ est divisible par $16$.

 En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de $p$ par 5, démontrer que $5$ divise $n$.

 
    
         Soient $a,~ b$ et $c$ trois entiers naturels.

Démontrer que si $a$ divise $c$ et $b$ divise $c$, avec $a$ et $b$ premiers entre eux, alors $ab$ divise $c$.

         Déduire de ce qui précède que $240$ divise $n$.

    

 Existe-t-il quinze nombres premiers $p_1,~p_2, ...,~ p_{15}$ supérieurs ou égaux à 7 tels que l'entier $A =  p_1^4 + p_2^4 +... + p_{15}^4$ soit un nombre premier ?