BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2003
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Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, d'unité graphique 1~cm, on considère les points A$_0$, A$_1$, A$_2$ d'affixes respectives
$z_0 = 5 - 4\text{i},~ z_1 = - 1- 4\text{i},~ z_2 = - 4 - \text{i}$.
Justifier l'existence d'une unique similitude directe
$S$ telle que $S(\text{A}_0)~=~\text{A}_1$ et $S (\text{A}_1) = \text{A}_2$.
Établir que l'écriture complexe de $S$ est $z'= \dfrac{1-\text{i}}{2}z + \dfrac{- 3 + \text{i}}{2}$.
En déduire le rapport, l'angle et l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de la similitude $S$.
On considère un point $M$, d'affixe $z$ avec $z \neq 0$, et son image $M'$, d'affixe $z'$.
Vérifier la relation : $\omega - z'= \text{i}(z - z')$ ; en déduire la nature
du triangle $\Omega MM'$.
Pour tout entier naturel $n$, le point A$_{n+1}$, est défini par A$_{n+1} = S(\text{A}_n)$ et on pose $u_n = \text{A}_n\text{A}_{n+1}$.
Placer les points A$_0$,~ A$_1$, A$_2$ et construire géométriquement les points A$_3$,~ A$_4$,~ A$_5$,~ A$_6$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est géométrique.
La suite $(v_n)$ est définie sur $\N$ par $v_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k$.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
La suite $(v_n)$ est-elle convergente ?
Calculer en fonction de $n$ le rayon $r_n$ du cercle
circonscrit au triangle $\Omega\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.
Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :
si $n > p$ alors $r_n < 10^{-2}$.
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