BAC S SPECIALITE Antilles juin 2003

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          Calculer : $\left(1 + \sqrt{6}\right)^2,~ \left(1 + \sqrt{6}\right)^4,~\left(1 + \sqrt{6}\right)^6$.

         Appliquer l'algorithme d'Euclide à 847 et 342. Que peut-on en déduire  ?

     

 Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $a$ et $b$ les entiers naturels tels que :

\[\left(1 + \sqrt{6}\right)^n  = a_n + b_n\sqrt{6}.\]

Que valent $a_1$ et $b_1$ ?

D'après les calculs de la question {1 a}, donner d'autres valeurs de $a_n$ et $b_n$.

    
          Calculer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.

         Démontrer que, si 5 ne divise pas $a_n + b_n$, alors 5 ne divise pas non plus $a_{n+1} + b_{n+1}$.

 En déduire que, quel que soit $n$ entier naturel non nul, 5 ne divise pas $a_n + b_n$.

         Démontrer que, si $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux, alors $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ sont premiers entre eux.

 En déduire que, quel que soit $n$ entier naturel non nul, $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux.