BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2003

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 \parbox[l]{0.40\textwidth}{L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal
\Oijk.
 On considère la surface {T} d'équation :
$x^2y = z$\quad  avec $-1 \leqslant x \leqslant 1$ \quad et
$-1 \leqslant y \leqslant 1.$
La figure ci-contre est une représentation de la surface {T}, dans le
 cube de centre O et de côté 2.} \hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{
%\includegraphics[width=7cm]{fig.Maroc.epsf
\psset{unit=1.5cm,xMax=2.2,yMax=2.2,zMax=2.2}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(1,1)
\pstThreeDCoor
\pstThreeDBox(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2)
\psplotThreeD[linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
\psplotThreeD[linecolor=red,drawStyle=yLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
\end{pspicture

\vspace{0,8cm}


 Éléments de symétrie de la surface {T}.

    
         Montrer que si le point $M(x,~y,~z)$ appartient à {T}, alors le point $M'(-x,~y,~z)$ appartient aussi à {T}. En déduire un plan de symétrie de {T}.

         Montrer que l'origine O du repère est centre de symétrie de {T}.

    

 Intersections de la surface {T} avec des plans
 parallèles aux axes.

    
            Déterminer la nature des courbes d'intersection de {T} avec les plans parallèles au plan (x\text{O}z).

         Déterminer la nature des courbes d'intersection de {T} avec les plans parallèles au plan $(y\text{O}z)$.
 
    

 Intersections de la surface {T} avec les plans
 parallèles au plan $(x\text{O}y)$ d'équations $z = k$, avec $k \in [0~;~1]$.

    
             Déterminer l'intersection de la surface {T} et du plan d'équation $z = 0$.

         Pour $k > 0$ on note $K$ le point de coordonnées $(0,~0,~ k)$.
 Déterminer, dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~
\overrightarrow{\jmath}\right)$, l'équation de la courbe d'intersection de
 {T} et du plan d'équation $z = k$.

            Tracer l'allure de cette courbe dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$. On précisera en particulier les coordonnées des extrémités de l'arc.
 
    

 On note (D) le domaine formé des points du cube unité  situés sous la surface {T}.
\[(\text{D}) = {M(x,~y,~z) \in (E) \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant x
\leqslant 1~ ; 0\leqslant y\leqslant 1~;~ 0 \leqslant z \leqslant x^2y}.\]

    
             Pour $0 < k \leqslant 1$, le plan d'équation $z = k$ coupe le domaine (D) selon une surface qu'on peut visualiser sur le graphique de la {question 3 c}.
        
 C'est l'ensemble des points $M$ du cube unitéŽ, de coordonnŽées $(x,~ y,~ z)$ tels que $y \geqslant \dfrac{k}{x^2}$  et $z = k$.

Calculer en fonction de $k$  l'aire $S(k)$ exprimée en unités d'aire, de cette surface.

         On pose $S(0) = 1$ ;  calculer en unités de volume, le volume $V$ du domaine (D).

On rappelle que $V = \displaystyle\int_0^1  S(k)\:\text{d}k$.