BAC S SPECIALITE Métropole juin 2003

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Les questions} {3} et} {4} sont indépendantes des questions} {1} et} {2} seule l'équation de} $\Gamma$ donnée en} {1  c} intervient à la question} {4}.


 L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

    
         Montrer que les plans P et Q d'équations respectives $x + y\sqrt{3}- 2z = 0$ et $2x - z = 0$ ne sont pas parallèles.

         Donner un système d'équations paramétriques de la
droite $\Delta$ intersection des plans P et Q.

         On considère le cône de révolution $\Gamma$ d'axe (O$x$) contenant la droite $\Delta$ comme génératrice.

Montrer que $\Gamma$ pour équation cartésienne $y^2 + z^2 = 7x^2$.

    

 On a représenté sur les deux figures ci-dessous les intersections de l  avec des plans parallèles aux axes de coordonnées.

Determiner dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant avec soin
 votre réponse.
 
\begin{center} \psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(14,7)
\pscurve(0,0)(1,1)(1.82,2)(2.5,3)(2.6,3.5)(2.5,4)(1.8,5)(1,6)(0,7)
\pscurve(7,0)(6,1)(5.18,2)(4.5,3)(4.4,3.5)(4.5,4)(5.2,5)(6,6)(7,7)
\pscircle(11,3.5){2.2}
\end{pspicture}\end{center}

\hspace{2cm}Figure 1     \hspace{5,5cm}Figure 2

 
    
         Montrer que l'équation $x^2 \equiv 3 \quad [7]$ ,
dont l'inconnue $x$ est un entier reIatif, n'a pas de solution,

         Montrer la propriété suivante :

pour tous entiers relatifs $a$ et $b$, si 7 divise $a^2 + b^2$ alors
 7 divise $a$ et 7 divise $b$.
 
    

 
    
         Soient $a,~ b$ et $c$ des entiers relatifs non nuls. Montrer la propriété  suivante :

si le point A de coordonnées $(a,~ b,~ c)$ est un point du cône
$\Gamma$ alors $a,~b$ et $c$ sont divisibles par 7.

         En déduire que le seul point de $\Gamma$ dont les coordonnées
sont des entiers relatifs  est le sommet de ce cône.