Bac S COMPLEXE Antilles-Guyane sept 2011

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, d'unité graphique 4~cm.

Partie A

On note P le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, Q le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et K le point d'affixe $- 1$.

Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1.
Faire une figure et construire les points P et Q.

Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure.
Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle
$\Gamma$.

Partie B

On considère trois nombres complexes non nuls $a,\: b$ et $c$. On note A, B et C les points d'affixes respectives $a,\: b$ et $c$.

On suppose que l'origine O du repère \Ouv{} est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

Montrer que $|a| = |b| = |c|$. En déduire que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$.
Montrer que $a + b + c = 0$.

Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$.
En utilisant la partie A, en déduire que $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$.

Dans cette question, on admet que $\dfrac{b}{a} = p$ et $\dfrac{c}{a} = q$.

Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
Montrer que $\dfrac{q - 1}{p - 1} = \dfrac{c - a}{b - a}$.
Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.