BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2003

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Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 1 cm, pour
unité graphique.

 On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout
point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = -\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)z - 1 + \text{i}\left(1 +
\sqrt{3} \right).\]


 Montrer que $f$ est une similitude directe dont le centre
$\Omega$ a pour affixe i. En déterminer le rapport et l'angle.

 Soit M$_{0}$ le point d'affixe $z_{0} =
\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{4}\text{i}$.
    
Calculer $\Omega \text{M}_{0}$ et donner une mesure en  
radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\Omega
\text{M}_{0}}\right)$.

 On considère la suite de points $(M_{n})_{n
\geqslant 0}$, définie pour tout entier naturel $n$ par $M_{n+1} =  
f(M_{n})$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.

    
            Placer les points
$\Omega,~\text{M}_{0},~\text{M}_{1},~\text{M}_{2},~\text{M}_{3}$ et
$\text{M}_{4}$.

         Montrer par récurrence, pour tout entier naturel $n$,
l'égalité :

\[z_{n}- \text{i} =  2^n
\text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - \text{i}\right).\]

         Pour tout entier naturel $n$, calculer $\Omega M_{n}$, puis déterminer le plus petit entier $n$    tel que $\Omega M_{n} \geqslant 10^2$.

    

 
    
          On considère l'équation (E) : $7x -  12y = 1$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple $(-5~;~-3)$ est solution, résoudre l'équation  (E).

         Soit $\Delta$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe
$z$ telle que Im($z$) = 1 et Re($z$)$ \geqslant 0$.

Caractériser géomtriquement $\Delta$ et le représenter.

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite d'origine $\Omega$ dirigée par le vecteur
$\overrightarrow{u}$. Préciser son plus petit élément.