BAC S SPECIALITE Liban juin 2003

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Les suites d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ sont définies sur $\N$ par :

\[ \begin{array}{l}
x_0 = 3 \quad \text{et} \quad x_{n+1} = 2x_n - 1\\
y_0 = 1 \quad \text{et} \quad y_{n+1} = 2y_n + 3.\\
\end{array}\]


 Démontrer par recurrence que pour tout entier naturel $n, x_n = 2^{n+1} + 1$.
 
    
         Calculer le pgcd de $x_8$ et $x_9$, puis celui de $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$. Que peut-on en déduire pour $x_8$ et $x_9$ d'une part, pour $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$ d'autre part ?

         $x_n$ et $x_{n+1}$ sont-ils premiers entre eux pour tout entier
naturel $n$ ?

    

 
    
         Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 2x_n - y_n = 5$.
         Exprimer $y_n$ en fonction de $n$.
         En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $p$ le reste de la division euclidienne de $2^p$ par 5.
         On note $d_n$ le pgcd de $x_n$ et $y_n$ pour tout entier naturel $n$.

Démontrer que l'on a $d_n = 1$ ou $d_n = 5$ ; en déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $x_n$ et $y_n$ soient premiers entre eux.