BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2003

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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, d'unité graphique 2~cm.

 On donne les points A, C, D et $\Omega$, d'affixes respectives 1 + i, 1, 3 et $2 + \dfrac{1}{2}\text{i}$.

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{Partie A}




 Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega$ passant par A.

    
         Montrer que $\mathcal{C}$ passe par C et D.    

         Montrer que le segment [AD] est un diamètre de $\mathcal{C}$.

         Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A, C, D, $\Omega$ et tracer $\mathcal{C}$. On note B la seconde intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite (OA) .

         Montrer que le point O est extéŽrieur au segment [AB].

    

 Montrer par un raisonnement géométrique simple que les
triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques.

Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD.

    
         Montrer que S est une similitude indirecte différente d'une réflexion.

         Quel est le centre de S ?

    



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{Partie B}




 
    
         Déduire de la partie {A 2} que l'on a OA $\times$  OB =  OC $\times$ OD.

         En déduire le module de l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B. Déterminer un argument de $z_{\text{B}}$.

    

 Déterminer l'écriture complexe de S.

 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S $\circ$ S.