BAC S SPECIALITE Amérique du Sud décembre 2002

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On considère la suite d'entiers définie par $a_n = 1 1 1 \ldots 1 1$ (l'écriture décimale de $a_n$ est composée de $n$ chiffres 1). On se propose de montrer que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}.


 En écrivant $a_n$ sous la forme d'une somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n = \dfrac{10^n - 1}{9}$.

 On considère la division euclidienne par \np{2001} : expliquer pourquoi parmi
 les \np{2002} premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste.

 Soit $a_n$ et $a_p$ deux termes de la suite admettant le même reste $(n < p)$.

 Quel est le reste de la division euclidienne de $a_p - a_n$ par \np{2001} ?

 Soit $k$ et $m$ deux entiers strictement positifs vérifiant $k < m$.

 Démontrer l'égalité $a_m - a_n = a_{m - n} \times 10^k$.

 Calculer le PGCD de \np{2001} et de 10.

 Montrer que si \np{2001} divise $a_m - a_k$, alors \np{2001} divise $a_{m - k}$.

 Démontrer alors que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}.